Permutation d'un ensemble fini, notation factorielle

Définition

Soit \(E\) un ensemble fini à \(n\) éléments, avec \(n\) non nul.
Une liste de \(n\) éléments formée avec les \(n\) éléments distincts de l'ensemble \(E\) est appelée une permutation de \(E\) .

Exemple

Soit le mot « \(\text M\text O\text T\) ». On considère l'ensemble \(E\) des lettres de ce mot. 
\(E = \{ \text M~;~ \text O~;~ \text T \}\) .
Alors les permutations de l'ensemble \(E\) sont :
\(\text {MOT, MTO, TMO, TOM, OMT, OTM}\) .
\(3 × 2 × 1 = 6\) .
Il y a \(6\) permutations de l'ensemble   \(E\) .

Remarque

Une anagramme (mot féminin) est un mot formé en changeant de place les lettres d'un mot donné (que le mot obtenu ait un sens ou non). Donc, le nombre d'anagrammes du mot   « \(\text M\text O\text T\) » est 6.

Propriété

Le nombre de permutations d'un ensemble  \(E\) à \(n\) éléments, avec  \(n ⩾ 1\) , est :
\(\boxed{n × (n - 1) × ... × 3 × 2 × 1}\) .

Définition

Soit \(n\) un entier naturel.

• Pour tout   \(n ⩾ 1\) ,  \(n × (n - 1) × ... × 3 × 2 × 1\) se note  \(n!\)  et se lit « factorielle \(n\)  » ou « \(n\) factorielle ». C'est le produit des entiers de \(1\) à \(n\) .
  
• Par convention, on a  \(0 ! = 1\) .
  

Exemple

\(3! = 3 × 2 × 1 = 6\) . C'e st le nombre de permutations de l'ensemble \(E\) de l'exemple précédent.

Remarque Relation de récurrence

Pour tout entier naturel  \(n\) , on a  \(\boxed{(n + 1)! = (n + 1) × n!}\) .

Exemple

On cherche le nombre d'anagrammes du mot « \(\text M\text I\text E\text L\) ».
Il y a \(4\) éléments distincts dans l'ensemble des lettres du mot « \(\text M\text I\text E\text L\) », donc le nombre de permutations est \(4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24\) .